Впервые с таким столкнулись.
В настройках обмена с ФСС постоянно слетает действующий сертификат организации. То есть там остается не пустое поле, а встает сертификат с уже истекшим сроком.
Постоянно приходится перевыбирать действующий сертификат. 
Можно ли как-то решить эту проблему?

Здравствуйте.

Сертификаты не к базе привязаны, а конкретному рабочему месту. Если они с нескольких компьютеров работают, то может быть в этом дело. 
Пути решения:
1) Подписывать только с одного компьютера.
2) Каждому из пользователей завести отдельный, персональный сертификат. И пользоваться им только на своем ПК.
3) Использовать клиент - серверный вариант программы. В этом случае сертификаты должны быть на сервере.

Нет, клиент работает один с программой, больше никто не подключается к базе, пользователь один.

Добрый день.

Уточните, пожалуйста, 1С Отчетность подключена?